近年来，深度学习成为教学研究的热点。深度学习可以加深学生的数学理解，使得学生的学习深度发生。教学中教师首先需要吃透教材，并对教材做适当“补白”，即对教材中省略的过程或单一的学材进行调整和补充。这是教师根据教学需要对教材进行二次加工，使之更契合学生认知现实的过程，也是教师教学中常态化的工作之一。下面仅以几个典型课例，谈谈自己的思考与实践。

“过程”对于深度学习尤为重要。首先，数学本身就是一种建模的过程，其次，数学学习是学生的一种活动过程，这两种过程有机地融为一体，可以让数学知识生长起来，让学生的数学学习更自然。因此，数学教学一定要根据学生的认知规律，再现知识的产生、发展和应用的过程。

而这样的过程，在教材中一般不会详尽地呈现，需要教师作适当补充。例如，苏教版教材五年级下册“折线统计图”这节课，教材直接用统计表和折线统计图同时呈现一组数据。教学中要着力在过程上“补白”，以激发学生的学习需求，并通过具体的活动引导他们了解条形统计图和折线统计图的异同，感受折线统计图的意义与价值。为此，在执教本节课时，按照“统计表—条形统计图—折线统计图”的顺序，引导学生经历知识的产生和发展过程。

1. 创设情境，唤醒经验。

谈话：张小楠每年过生日时总要测量自己的身高。（出示下表）瞧，这是他6 到12 岁的身高情况统计表。

提问：想一想，我们还可以用怎样的方式来表示这组数据？根据学生回答，出示相应的条形统计图（图略）。

提问：从条形统计图中，你又能看出什么？

2. 巧设疑问，顺势导入。

启发：张小楠6 岁时的身高用这根直条表示，如果从直条中取一条线段来表示他的身高，可以怎样取？通过师生谈话，得到下面的统计图。

提问：还能变得更简洁一些吗？根据学生回答，把图中的短横线改为点，得到下图。

提问：是啊，用不同高度的点也能表示数据的多少。（板书：数量多少）现在，你能用手势来比划一下张小楠从6 岁到12岁的身高情况吗？

学生比划后，课件演示在各点之间连线，得到折线统计图的过程（图略）。

揭题：同学们，你们知道这样的统计图叫什么名字吗？（板书课题：折线统计图）

3. 自主探究，体会特点。

回顾并同时呈现条形统计图和折线统计图。

讨论：从条形统计图变成折线统计图，什么发生了变化？什么没有变化？

小结：点和线是我们关心的重点。

质疑：我们再看这幅折线统计图，图中的折线画在了什么位置？为什么下面都是空白呢？

指出：张小楠的身高都在110 厘米以上，我们可以把下面的部分省略掉——

出示：

谈话：下面，我们根据这幅折线统计图来研究一些问题。想一想，如果要统计张小楠和他们小组同学的身高，你觉得应选择条形统计图还是折线统计图？

……

在上述案例中，通过比较条形统计图和折线统计图，不仅沟通了两者在反映数量变化趋势上的不同，更彰显了折线统计图的特征。

教材应尽可能为学生的自主学习提供机会和可能。适当地增加学材，以增大学生学习的空间，让他们的学习体验更为丰富，积累更多的活动经验，促进核心素养的提升。

例如，“面积的认识”这节课，初步建立面积的概念后，教材引导学生比较两个长方形的面积，由于两者的形状、大小比较接近，直接比较或通过重叠都不能确定它们面积的大小，于是就有了探索新方法的需要。这时，教材启发学生借助方格纸，通过数方格的个数得到结果，进而引出面积单位的概念。对此，在教学时做了两方面的补充，一是增加一个正方形作为研究对象，二是设计自选单位面积测量的活动过程。

第一次比较：出示多个平面图形，并提问：“哪个面积最大？哪个面积最小？”引导学生通过直接比较得到结果。

第二次比较：留下差别不明显、不能直接比较的图形，要求学生四人小组合作，根据图形面积的大小从大到小排一排。结果出现以下两种排法：

第三次比较：对于两个差别不明显且不能通过重叠比出结果的两个长方形，则组织学生小组合作开展如下活动：选择学具袋里的圆片、三角形、正方形等，铺一铺、摆一摆，看能不能比较出它们面积的大小。学生活动后，展示并交流不同的测量方法，发现：选择圆片有空隙，选择小三角形也不容易铺满，而选择正方形可以完全铺满。至此，教师再出示方格纸，并介绍：如果摆小正方形还麻烦的话，可以直接用方格纸，数一数图形中方格的个数，比出结果。

在上述活动中，由于教师对学习素材的“补白”，拓宽了学生的探索空间，有利于提升学生的思考力。

袁隆平院士讲过这样一则故事，他在中学学习正负数知识时，因为搞不懂“为什么负负得正”，就去请教老师，没想到老师却告诉他“记住会做题就行”。因此袁隆平觉得数学“不讲理”，从此对数学学习失去了兴趣。这个故事启迪我们，在数学教学中，不能仅仅要求学生记得住、能计算、会解题，更要给学生探究数学道理的时间与空间，让他们“知其然，又知其所以然”，这样才能使理解变得深刻。

例如，苏教版教材五年级下册“3 的倍数的特征”这节课，教材要求学生在百数表中先圈出3 的倍数。大部分学生受到“2、5 的倍数的特征”的影响去观察个位。

此时，教材提出“从个位看不出3 的倍数的特征，怎么办”这一问题，并提示“在计数器上分别表示出几个3 的倍数，看看各用了多少个珠”，最终发现并总结出3 的倍数的特征。可是，这个发现只是“特征”而非“原理”，只解决了“是什么”而没有解决“为什么”的问题。于是，尝试在教学中沟通“2、5 的倍数的特征”和“3 的倍数的特征”的本质联系，形成合理的知识结构。

1. 复习。通过复习2、5 的倍数的特征及其研究方法，小结并板书：圈数、观察、猜想、举例验证、归纳。

2. 猜想。启发猜想3 的倍数的特征，并通过验证否定猜想，接着启发学生通过在百数表中圈数，初步发现3 的倍数的特征。

3. 验证。在此基础上，引导学生借助计数器验证猜想，并获得结论。

设问：为什么一个数各位上数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数呢？

（1）探究“12”为什么只要看“1+2”？

出示1 捆和2 根小棒，要求学生解释为什么判断12 是不是3 的倍数，只要看“1+2”是不是3 的倍数，并通过如下图所示的操作，明确：前面圈出的3 个3 是3 的倍数，十位分出3 个3 后剩下的1 和个位上的2 合起来是1+2。

启发：也可以这样分，这一捆10 根小棒里圈出3 个3（也就是9 根）后，剩下的这1 根和个位上的2 根合起来又是一个3（如下图），因为9 是3 的倍数，所以只要看1+2是不是3 的倍数就可以了。而1+2 是3 的倍数，所以12 是3 的倍数。

（2）探究“24”为什么只要看“2+4”？

课件演示（如下图所示），并通过师生对话，帮助学生理解：看24 是不是3 的倍数，只要看“2+4”的和是不是3 的倍数。

?

（3）探究“126”为什么只要看“1+2+6”？

启发：“126”是不是3 的倍数呢？你能说清楚为什么只要看“1+2+6”吗？

4. 回顾与再研究。

提问：经历了这几个数的拆数过程，你有什么体会？

预设1：1 个百，3 个3 个地圈一圈后，会剩下1 个一。这样，几个百，用同样的方法圈一圈后，就剩下几个一。

预设2：原来各个数位上的数，刚好是剩余的数，所以各个数位上数的和是3 的倍数，这个数就是3 的倍数。

提问：还记得“2、5 的倍数的特征”吗？今天我们又学习了“3 的倍数的特征”，你有什么疑问吗？

预设：为什么判断一个数是不是2 或5 的倍数，只要看个位，而判断3 的倍数，要看各个数位上数的和呢？

上述案例中，学生的探究并没有止步于特征，而是集中精力去探究其中的“原理”，在一次次思考与表达中，学生的头脑里不仅对3 的倍数的特征留下了深刻印象，还对2、5 的倍数的特征有了新的认识，即它们的道理是一致的——都要关注数的位值，只不过2 和5 的倍数可以省略十位及更高位上的数。在这个过程中，学生的归纳推理和演绎推理能力都得到了提升，质疑的意识和精神也得到了培养。

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