1 模糊断点回归设计 (Fuzzy)

模糊断点回归的特征是，在断点x=c处，个体得到处理的概率从a跳跃到b，其中0。 然而，即使x>c,落入处理组的个体也不一-定得到处理，但得到的处理的概率在x=c处有不连续的跳跃。

如上图所示，在sharp RD中，个体若在在X>c接受处理的概率密度函数f（X）=1。但是，在fuzzy RD中，个体若在X>c接受处理的概率从f（x）=a转移到f（x）=b，并且随着远离x=c而收敛于1。

例子：同样借用高考线500分的例子，但我们做一点小小的改变。一个考生高考成绩过了500分并不能完全保证上大学，因为，能否上大学还取决于填报志愿，甚至有些上线考生放弃上大学的机会去选择复读一年；而即使成绩未上线，但也可能因某种特长或少数民族而得到加分，从而得到上大学的机会。综上，上大学的概率确实在分数线500的位置上有一个不连续的跳跃。

相较于Sharp RD，在模糊断点的情况下，处理变量D不完全由分组变量x所决定。

2 Fuzzy RD的模型设计

一般来说，影响处理变量D的其他因素也会影响结果变量y，导致在回归方程中处理变量D与扰动项ε相关，存在内生性问题。为在模糊断点的情况下识别平均处理效应，需要引入以下条件独立假定。

2.1 来自AER的实例

这篇论文的研究问题是移民获得合法身份后的犯罪是否会减少（Pinotti, Paolo. "Clicking on heaven's door: The effect of immigrant legalization on crime." American Economic Review107.1(2017): 138-68.）。

其中，分组变量D是移民者是否获得合法身份，因变量是移民申请人在申请合法身份后的第一年（2008年）是否有犯罪记录。然而，这里面的选择偏误是合法身份并不是随机发放给移民申请人的，那些预期犯罪更少的移民更有机会（有雇主帮助申请）和动力（花更多的时间和精力去准备申请）来申请合法身份，直接对比犯罪率会夸大合法身份的作用（使负向系数更小）。

为了克服这个选择偏误，作者利用了意大利的自然实验，意大利的移民身份申请是先到先得的，也就是在系统开放后，申请时间越晚中签率会越低，作者发现申请递交时间timing上有一个断点，当申请人晚于这个断点提交申请书时，会导致其中签率跳跃式下滑，但不至于完全为零，于是作者找到了一个Fuzzy断点情景。

首先，作者Pinotti在描述政策背景的时候直接汇报了连续变量x与分组变量D的散点图（5min作为箱体），如下图

移民有两种类型：个人或家庭雇佣的护理人员获得A型许可证；企业雇员获得B型许可证，进一步可分为建筑工人——B1型和非建筑工人——B2型。另外，意大利为14个特权国家保留了特定的配额，没有按许可类型进行区分，这些国家加入了双边协议以控制非正规移民。Panel A是米兰地区A类入境许可证申请者获取概率和时间的关系图，Panel B是贝加莫地区B类入境许可证申请获取概率和时间的关系图。很容易发现，米兰和贝加莫地区申请者的成功概率（蓝色曲线）在截止日8：30右侧呈现断崖式下降，而申请人数在贝加莫地区却变化不大。

接着，作者进一步验证截止日的8：30是否为一个断点（cut-off）

接着，随着cut-off确定，作者做了一个平衡性检验（balance checking）来保证两侧移民者除了因变量外，不存在其他系统性上的差异，如下：

显然，两侧的移民申请者在国籍和国家发展程度之间不存在差异。

那么，作者可以利用该cut-off来检验申请者的犯罪率差异

Figure 3 展示了在click days前后申请者人均犯罪数量的变化。Click days 开始的前一年（2007年）没有显著的断点，临界值前后的犯罪率约为1.1%。Click days实施后（2008年），出现了在10%水平上显著的效应，为-0.3个百分点,即在临界点左侧申请者犯罪率降低。（背景补充：左侧是2007年申请者的犯罪率差异，而这些申请者是2006年申请的，此时意大利并没有实施click day，而是人为手动筛选，这种做法虽然缺乏效率，但可以严格保障申请者的资质。）

转自：“PPdata Academy”微信公众号

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