习近平总书记在中共中央政治局第三次集体学习时强调，要切实加强基础研究，夯实科技自立自强根基；加强基础研究，是实现高水平科技自立自强的迫切要求，是建设世界科技强国的必由之路。微分算子便是基础研究的一项重要内容，它是刻画自然和社会现象中宏观和微观运动变化的基本而又十分重要的工具，在几何学、力学、热学、天文学研究中都必不可少。微分算子研究的不断深入有力地推动了数学、物理等领域的发展。积分和微分算子的交换子是调和分析和偏微分方程中非常重要的工具。调和分析自产生之日起，就与微分算子有着密不可分的联系。

在对交换子研究的研究过程中，以下问题长期困扰着许许多多的数学家。首先，需要解决如何在高维情形下分数阶微分算子交换子有界性特征刻画；其次，探索在更好的核函数的尺度指标下，如何建立一套粗糙核线性交换子有界性理论；在Morrey 空间背景下的一套线性算子交换子的有界性和紧性的特征刻画理论是否成立；最后，是具有重大理论价值的长期公开问题：粗糙核积分算子是否是弱(1,1)有界的？

北京科技大学陈艳萍教授团队针对以上问题，10余年间深入研究相关文献，构建起相关领域的理论框架，从而明确研究目标和问题，并根据研究目标，将交换子问题转化为数学模型，通过计算模拟与实验设计等方法不断探索交换子的行为，同时坚持不懈学习与反思成功攻克了这些难题，为理解自然界中的许多现象和创新技术的发展提供了重要支持。研究成果获得教育部高等学校科学研究优秀成果奖(科学技术)自然科学二等奖。

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苦心专研 逐个击破

陈艳萍教授团队数十年如一日，克服重重困难，攻克一个又一个数学难题。例如在研究高维情形下分数阶微分算子交换子有界性时，分数阶 Laplace 算子，Sobolev-BMO 空间的非局部性，以及高维空间核函数不规则对有界性特征刻画有本质影响，这些困难直接造成经典方法如旋转方法以及定理失效。为了解决这些问题，团队综合应用Littlewood-Paley分解理论和Fourier 变换，巧妙结合核函数的连续性和非退化性，构造单位球上闭集，彻底解决了高维分数阶微分算子交换子有界性、Morrey空间有界性以及弱(1,1)有界性对Sobolev-BMO空间特征刻画的问题。

在粗糙核奇异积分算子交换子的有界性研究过程中，由于涉及BMO函数，使得奇异积分算子交换子成为非卷积型算子。交换子的非卷积性对 Fourier 变换以及有界区域上的截断算子的点态控制有着本质影响。Plancherel定理以及旋转方法等一些粗糙核积分算子处理的常规技巧在这一背景下失效。因此，团队运用了Littlewood-Paley分解并引入Bony仿积分解技术，将BMO函数局部化和光滑化，从而替代了常规的旋转方法，使其与奇异积分算子分离，最大程度降低了核函数的尺度指标，并系统地发展了一套粗糙核线性交换子有界性理论。

作为研究交换子 有界性特征刻画的一种重要研究方法的A. Uchiyama ，由于其方法构造性太强。限制了交换子特征刻画发展。而且积分算子在 Morrey 空间上的有界性和紧性特征刻画尚无前人的工作可以直接借鉴。通过巧妙结合核函数的连续性和非退化性，团队构造了单位球上闭集，以建立相应的Morrey空间Frechet- Kolmogorov定理，彻底解决Morrey空间背景下的一套完整的线性算子交换子的有界性和紧性特征刻画。

作为调和分析中一类重要且比C-Z奇异积分算子更复杂的算子:Littlewood-Paley算子交换子, 是否有类似的结果？考虑到Littlewood-Paley算子交换子不再是线性算子，且该算子的核函数依赖额外的参数λ，这使得研究变得更加复杂。为了解决这个问题，团队将Littlewood-Paley算子交换子看成向量值的算子，并利用向量值的不等式来处理。同时，对核函数进行合适分类简化，建立了较完整λ范围Littlewood -Paley算子交换子在端点处的LlogL弱型估计以及相应的加权估计。

长期以来，调和分析中一类重要的非卷积型积分算子，粗糙核 Calderón 交换子，自A. P. Calderón 1965年引入以来，其弱(1,1)有界性问题一直是公开问题。团队首次建立了一类广泛的粗糙核算子的弱(1,1)有界性的判断准则，运用该准则，不仅可以直接得到M. Christ、J. Rubio de Francia、A. Seeger关于粗糙核奇异积分算子的弱(1,1)有界性结果，同时也可以建立粗糙核Calderón交换子弱(1,1)有界性，从而解决了A. P. Calderón在1965 年遗留的一个公开问题。

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夯基垒石 助推发展

交换子研究作为一个基础性概念，扮演着连接不同学科和实际应用的桥梁。是诸多学科提供了理论基础，为深化对自然界及微观世界的理解提供了关键工具。与此同时，通过理解和运用交换子的非对易性质，我们能够更好地掌握材料特性的调控，优化通信和图像处理技术，设计更有效的控制系统，并推动量子技术等领域的发展。它不仅构筑了学术知识的支撑，也成为多领域实际应用的关键基础，为我们更深入地探索和改善世界带来了丰富的可能性。

交换子研究在基础数学研究、数学物理、量子信息与计算、理论物理方面都有着重要意义。（1）基础数学研究：交换子是基础数学领域中的一个重要概念，它涉及到运算符或算子之间的非交换性质。对交换子的研究不仅有助于深化数学理论，还可以推动数学的发展，如算子代数、函数分析等。（2）数学物理：交换子在量子力学、量子场论等数学物理学科中具有关键作用。它们被用来描述量子态之间的非对易性质，从而解释了许多微观粒子行为，如自旋、泡利不相容原理等。（3）量子信息与计算：交换子的研究对于量子信息科学和量子计算也至关重要。量子计算中的量子比特具有非交换性质，交换子理论为解决量子比特之间的相互作用和编码问题提供了数学基础。（4）理论物理：交换子在各种物理领域中有重要应用，如固体物理、高能物理和场论。它们是量子力学、量子场论以及基本粒子物理的核心概念。

交换子研究不仅在学术领域中推动了数学、物理等学科的发展，还在实际应用中产生了深远影响，涵盖了材料、通信、控制、量子技术等多个领域。（1）材料科学与工程：交换子研究对于材料科学和工程领域具有实际应用价值。在材料制备中，通过调控材料中的交换子关系，可以改变材料的性质和特性，如硬度、导电性等。（2）图像处理与通信：在图像处理领域，交换子理论可以应用于图像压缩、特征提取等。在通信领域，交换子的概念有助于理解信号传递和干扰等现象。（3）自动控制系统：在自动控制领域，交换子理论可以用于描述非线性系统的动态特性，有助于系统建模和控制策略的设计。（4）量子技术应用：交换子研究为量子技术的应用提供了理论支持，包括量子通信、量子加密和量子计算等。

基础研究任重而道远，项目团队勇于创新、顽强拼搏，为建成世界科技强国、实现中华民族伟大复兴不断作出新的更大贡献！

来源: 科转院

转自：“北科科研”微信公众号

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