近年来，可贴合于三维表面的电子器件发展十分迅猛。这类器件在曲面显示屏、太阳能电池片、生物电子器件和仿生学等领域的重要性日益显现。在过去二十年中，柔性屏幕成为了柔性电子这一领域中最成功的商业化典范，但目前该技术难以应用于不可展曲面（例如球面）上。虽然可拉伸结构和材料的出现使得电子器件可贴合于不可展曲面上（图1A和B），但是这往往需要牺牲电子器件的密度（单位面积的元件数量）来换取其自身的可拉伸性及在曲面上贴合度。

为了攻克这一难关，尽管多种经验性的设计已被用来提高不可拉伸的柔性电子器件在不可展曲面上的贴合度，但针对不同尺寸和不同材料模量的设计方案仍缺乏系统性地研究。最近，UT-Austin鲁南姝教授和UW-Madison李颖教授的合作团队在Science Advances上发表了题为“Conformability of flexible sheets on spherical surfaces”的文章。该研究团队通过实验验证、理论分析和仿真模拟相结合，系统地研究了不同柔性薄片在不同球面上的贴合度，并提出了提高贴合度的策略。在此基础上，通过对薄片脱粘区域的几何特征与力学机理分析，推导并验证了一系列理论模型，用以预测柔性薄片在球面上的贴合度。该文章还进一步地讨论了径向切割的长度和数量对柔性薄片贴合度的影响，并提出了一种优化的切割方案，以将薄片的贴合度提高到90%以上。

作者通过实验和仿真的方法，研究了不同尺寸圆形薄片在不同基底上的贴合度，并进一步测量了贴合后薄片的几何形状。实验中，水作为粘合剂为贴合过程提供驱动力，将13微米厚但不同半径的圆形PET薄片贴合在不同半径的球形凹面上，如图1C所示。稳态下的形状则由相机或三维扫描记录下来（图1D），用以进一步计算贴合度和测量几何特征。贴合度（Conformability）被量化为薄片与基底相接触的面积占薄片整体面积的比例，若为100%则意味着完全贴合。仿真中，为了模拟薄片在水的驱动下与基底贴合的过程，作者采用了粗粒化的分子动力学方法，将薄片与基底离散为一系列网格-弹簧模型，而界面的黏附能则由薄片与基底的粒子间的作用势来模拟。再以实验中的材料性能等指标为依据标定了仿真参数，进而对不同的薄片模量和几何尺寸进行了仿真计算（图1E和F）。

图1 (A,B)提高柔性电子器件贴合度的方法与其实际应用，(C-F)实验、仿真的过程与结果

为了了解薄片贴合在球面上的几何特征，作者基于实验和仿真结果，推导并验证了一系列关于几何特征的理论模型，涉及的参数包括了薄片的半径R，厚度h和模量E，以及基底的半径ρ和水的表面张力γ。

首先，基于实验和仿真的结果，作者验证了文献中已有的结论——薄片接触区域内的最大内切圆半径（如图1D所示）为

(1)

超过该半径的薄片会出现脱粘的现象。由此可知，薄片接触区域的“宽度”主要受到薄片的拉伸刚度（Eh）和黏附能的影响。

其次，对于半径大于rc的薄片，rc由于在稳态时系统不受到粘附力之外的力的影响，脱粘区域的径向或者周向的形变近似为零，由高斯的绝妙定理可知脱粘区域的高斯曲率应尽可能接近于零。在实验和仿真结果中，该推论得到了的验证，并且作者发现在远离“指尖”的手指形屈曲脱粘区域，不同半径处的周向截面均满足典型的一维屈曲的形状

(2)

其中λ为屈曲的波长，δ为屈曲的高度，

为弯曲-毛细特征长度，而B为薄片的弯曲刚度。这意味着屈曲脱粘区域的几何特征由薄片的弯曲刚度和黏附能来控制。而因为基底半径ρ远小于弯曲-毛细特征长度Lec，所以基底半径对薄片的影响微乎其微。

然后，作者进一步对薄片贴合后的几何形状进行了分析，推导出脱粘区域的几何特征与薄片和基底半径之间的关系。对每一个手指形的脱粘区域，位于薄片边缘（即半径R处）的周向截面的波长λe和高度δe也满足

。基于一维屈曲模型，薄片受到的压缩量Δi满足

。由于薄片不受到任何径向的载荷，因此在贴合过程中薄片会受到一个周向的压缩并导致屈曲脱粘的出现。这个压缩由N个脱粘区域的屈曲来分担，故压缩总量为

。另外，薄片周向的压缩总量可以由简单的几何投影关系得到，为

。由此可得

(3)

实验测量的结果验证了方程3中的推论。且对于一般薄片，假设N个脱粘区域的形状相同，方程3可以改写为

。

最后，脱粘区域的数量N也是影响薄片贴合度的关键因素。根据已有的文献，脱粘区域的数量与薄片半径呈线性关系，

，其中分母为特征长度，与薄膜的模量、厚度和黏附能有关。然而，这个特征长度受到黏附能、薄片的拉伸刚度与弯曲刚度的共同影响，目前没有简单的解，还有待后续研究。本文中，作者采用了

作为经验公式

(4)

根据厚度为13微米且模量为3 GPa的薄片的实验和仿真结果，作者验证了脱粘区域的数量与薄片半径间的线性关系，且拟合出了前因子为2.75。进而，作者以方程1-4为依据，推导了一个可预测薄片在球面上贴合度的近似表达式。为了方便推导，假设N个手指形脱粘区域均有相同的形状，最大宽度位于薄片边缘处且均为λe，长度均为

，则脱粘区域的总面积为

。根据定义，贴合度为薄片与基底接触的面积占薄片整体面积的比例，可以最终简化为一个非线性的关系

(5)

其中

且

，而第二项的系数α可以由实验和仿真的结果拟合而来，为α=1.75（如图2A所示）。这个结论适用于半径大于rc的薄片（即出现脱粘区域）且

（即薄片弯曲刚度较小，圆心附近区域可以贴合在球面上）时。以上的结果均基于13 μm和

的实验和仿真。为了验证公式5的泛用性，作者用仿真模拟了其他厚度和模量的薄片贴合于球形基底的过程。虽然经验公式4所预测的脱粘区域的数量N有一定的偏差，但公式5仍然可以较好地预测薄片的贴合度。

图2 (A)实验、仿真和理论推导的薄片在基底上的贴合度，(B) 径向切割薄片以提高薄片在基底上的贴合度

在一项2017年的工作中，作者曾基于经验提出一种提高薄片贴合度的设计——在脱粘区域进行径向切割。本文中，作者对该设计进行了系统性地分析，并提出了优化后的解决方案。针对不能完全贴合于基底表面的薄片，径向切割可以显著减小手指形的屈曲脱粘区域的面积，同时也会导致在切口尖端附近出现较小的圆形脱粘区域。总而言之，整体贴合度随着切割数量的增加而提高。为避免切割处的邻边在薄片贴合过程中接触、碰撞并导致额外的脱粘，作者设计了曲线型的切口（见图2B），其宽度

随着半径r 而变化。

实验和仿真均表明，贴合度随着切割数量M的增加或切口长度 l 的增加而提高，且当两者同时增加时提高效果最为显著。最后，作者提出了两种设计方案以应对不同的需求：如果需要薄片完全贴合，则采用保守的设计方案，即径向切口长度应为

且切口数量为

；为了避免切割数量过多导致薄片损坏，

便足以保证90%的贴合度。作者在三组不同的薄片和基底尺寸中用仿真验证了该设计方案，贴合度均可以提高到95%以上。当

，切口宽度

可表示为：

(6)

该研究主要聚焦于柔性薄片在硬基底上的贴合度及提高贴合度的方法，其结论亦可应用于柔性薄片在常见的软性基底的贴合度的保守估计上。软性基底因易于变形而具有适应电子设备的形状能力，所以软性基底往往比硬基底具有更高的柔性电子器件贴合度。当然，在软性的非可展面上精确预测贴合度仍需要更深入的研究。值得注意的是，Finn Box，Dominic Vella等人近期在PNAS上发表了一篇题为“Delamination from an adhesive sphere: Curvature-induced dewetting versus buckling”的文章，讨论了圆形薄膜在受到表面张力的均匀径向拉伸下，贴合在硬性球形凸面后的屈曲数量和形态。不同的是，该模型中，薄膜受到一个均匀的径向拉力，且其屈曲区域的长度远大于宽度。在该假设下，文章指出屈曲的数量是一个变量且沿半径方向逐渐增大。在该文中，作者并未讨论如何提高薄膜的贴合度。

论文链接：

https://www.science.org/doi/10.1126/sciadv.adf2709

作者简介：

文章作者包括刘思祎，贺金龙，饶一帆，戴兆贺，叶会林和John C. Tanir， 鲁南姝教授和李颖教授。

鲁南姝教授是Web of Science高引作者，Nano Letters和Journal of Applied Mechanics副主编，长期深耕于柔性电子的力学，制造与人体集成。

欢迎访问实验室主页了解更多相关工作：

https://sites.utexas.edu/nanshulu/。

李颖教授威斯康星大学麦迪逊分校机械工程副教授,长期从事多尺度建模、聚合物力学与物理、机器学习加速材料设计等领域的研究。

欢迎访问其google scholar或网站了解更多相关工作：

https://directory.engr.wisc.edu/me/Faculty/Li_Ying/。

转自：“知社学术圈”微信公众号

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