竖分横分连乘除

整体转化通理法

《指向核心素养达成的小学数学错题研究》

研究活动

荷风送香气，竹露滴清响。为践行“深度理解多元表达”的教 学主张，“问题引领 构建以学为中心的数学课堂”教学范式，推进“有思想 好思考 善思维”的三思主题研究，不断促进教师专业成长，助力学生思维生长，提高教师教育教学水平，提升教学质量，2023年5月17日(星期三)下午，在塘尾万里学校文体楼一楼电教室，开展了以“基于新课标的小学数学思维教学研究”为主题的第三学区小学数学教师培训活动，《指向核心素养达成的小学数学错题研究》课题组全体成员积极主动地参加此活动。

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01

课例研究

林璐老师执教《分数除法 (一) 》

林璐老师与五（4）班的学生

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活动伊始，课题组核心成员林璐老师和塘尾万里学校五（4）班的孩子一起研究《分数除法 (一) ——分数除以整数》。 整节课以“分纸”这一真实的主情境将三大活动串连起来，聚焦核心问题：“每份是这张纸的几分之几？”引领学生主动探究学习，通过小组合作，在分一分、折一折、画一画、算一算、说一说、编一编等活动中，理解算理、掌握算法，发展核心素养。

学生活动一

首先，林老师整合数学活动一，针对“把一张纸的

平均分成2份”和“把一张纸的

平均分成3份”，聚焦核心问题“每份是这张纸的几分之几？”每个小组同步思考，学生经历“分”、“折”、“涂”、“算”、“说”的尝试探究过程。

交流分享时，有学生说：“可以竖着分，先竖着将一张纸平均分成7份，取其中的4份就是

，再将这张纸的

平均分成2份，也就是把4个

平均分成2份，直接用分子4除以2，4÷2=2，每份是2个

，也就是

。”还有学生说：“可以把除以2转换成乘2的倒数。”林老师追问：“为什么可以乘它的倒数？能说说其中的道理吗？”学生结合折纸形成的图形，指着说“刚才竖分把一张纸分成了

，现在要把这张纸的

平均分成2份，可以接着横着平均分2份，其中的一份就是

的

，就可以得到

÷2=

×

=

=

。”

计算

÷3时，学生采用前面的方法一，对

竖分时，出现分子4除以3不能除尽，算不出结果而出错，

÷3=

=？有学生提出要把它变成以前学过的知识方法来思考。这样有学生想到一直竖分下去，对每一个

再平均分成3份，运用分数的基本性质把

变成

，转化成用方法一

÷3=

÷3来计算。还有学生指出这样竖分很麻烦，应该换一方向接着横分，变成求

的

，用前面的方法二

÷3=

×

来解决。林老师抓住学生的生成作品，指着问：“这像什么？”学生异口同声说：“这是我们前面学过的分数乘分数。”

学生活动一分享

为了找到知识方法间的联系，林老师放手学生对比两种方法，发现方法一竖着分，是分分子，也就是分分数单位的个数；方法二用竖分加横分，是细分分数单位，使分数单位变小了（由

变成

或

），解决分子不是整数的倍数这一类问题。学生经历了由“均分”走向“细分”，把除法变成乘法的问题解决过程。

学生活动二

进入活动二“一张纸的还可以怎么分？分一分、折一折、算一算。”学生动手操作、列式计算，呈现了典型作品“①

÷4=

=

，或者

÷4=

×

=

；②

÷6=

×

=

或者

÷6=

÷6=

=

。”同时，围绕第2个核心问题“分数除以整数可以怎样计算？”学生进一步体会分数除以整数的两种计算方法的区别与联系，自主归纳总结（1）分数除以整数转化为分数乘分数，也就是把一个分数平均分成几份，求一份是多少，可以转化成求这个分数的几分之一。（2）分数除以一个不为0的整数，等于乘这个整数的倒数。（3）根据分子是不是整数的倍数，可以灵活计算。（4）计算时，能约分的先约分。

学生活动三

在活动三“我会编”，学生写一个分数除以整数的算式，根据写的算式编一个数学问题，用彩纸折一折分的过程，自主将所学的知识方法与实际生活联系起来，体现数学学习的价值。

学生畅谈感受

整堂课聚焦学为中心，清新、灵动、鲜活，数学味浓！林老师尊重学生、相信学生、给学生主动学习的时空，用两个核心问题引领，学生充分经历“分”纸活动，深度探究，在认知冲突中激活旧知，变换思考角度，深度理解，多元表达，打通除乘法，感悟运算的一致性，实现理法融通。学生教会学生，不断领悟转化思想、模型思想、分类思想，主动化解差错，并提出怎样计算“整数除以分数”这一问题，继续三思生长、三思飞扬，发展运算能力、推理意识、几何直观等核心素养点。

02

研究分享

《以“三思”整体视角做结构化深度研究》

专题讲座

课题主持人王会军老师

开展专题讲座

课题主持人王会军老师以林璐老师执教的《分数除法 (一) 》所属的“分数除法”单元为例，追溯理法根源，联通知识本质，深入剖析了“分数除法”大单元背后蕴含的数学思想、数学本质，使与会老师们对单元整体备课有了更深入的思考。

王老师对单元整体的介绍

把握结构，聚焦整体。首先，王老师结合教育心理学家布鲁纳、 皮亚杰的理论，强调了结构化的重要性。提出“分数除法”大单元应当基于解决问题出发，去探究计算教学，又从计算教学回到解决问题。 教师在把握整体知识结构，掌握学情的情况下，不仅要关注算理数理、算法解法的教学，还需要关注学生在解决问题的过程中使用的策略是什么，同时关注学生达成的数学素养是什么。

领悟三思，学为中心。接着，王老师重点结合林璐老师的课例《分数除以整数》，联系阐述了模型意识在该单元整体的分布， 从算理数理、算法解法、思想素养等三方面，剖析了课例背后的重点、 难点、关键点。然后，王老师通过结构图，将“深度三思、数学本质、 内在联通”的“分数除法”单元的本质进行疏通，触发与会老师对单元整体备课和课时备课进行深度思考，同时让与会老师们感受到了深度研究的背后，要“知其所以然”的精神，促进学生有思想、好思考、善思维，达成“三会”素养。

王老师解析教学本质

核心概念，感受一致。王老师指出：学生在本次《分数除法 (一)》 的课例中经历了 5 次对比，从具有一定的意识，到准确的自主发现、 再到内在联通，以及最后的融会贯通。这样看似简单的一堂课，背后蕴含的数学思想非常深。在此过程中，学生从均分分子到细分分母，也就是由均分分数单位的个数到细分分数单位。分别解决分子能不能被整数整除的情形，正确计算。同时与后面要学的“整数除以分数”和“分数除以分数”进行关联对比，发现均以计数单位为核心概念，在细分和均分、（包含分）中，实现分数除法转化为分数乘法，构建除法与乘法运算的一致性。这正是指向核心概念的深度教研！

课题组成员研讨合照

这次教研活动，课题组呈现的这一精彩课例，是问题引领、构建学为中心的教学范例，为学区数学教师培养学生数学思维提供了可行的路径、方法和策略。深度的专题讲座启示学区各数学科组强化校本教研，落实单元整体结构化深度研究，聚焦核心素养，提高学业质量。课题组将继续珍惜教研机会，发挥示范引领、成果辐射作用。今后我们将满怀研究的热忱，且行且思，在“研·学·长”的路上助力教师专业成长、学生核心素养达成！

转自：“指向核心素养达成的数学错题研究”微信公众号

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